Ejercicios Resueltos Variables Aleatorias Discretas



1. Un artesano ha elaborado 7 colchas de una etnia indígena 2 de ellas tienen algún defecto. Un turista compra 3 de estas colchas. Sea el número de colchas defectuosas. Hallar la distribución de probabilidad de X:
Datos:

                5 buenas

n = 7       2 defectuosas
r = 3
X = Numero de colchas defectuosas
X = 0, 1, 2
 
 
 



función de Probabilidad
X = Xi
0
1
2
P (Xi)
2/7
4/7
1/7
Función de Distribución Acumulada
X
P(X)

F(X)
0
2/7
0 + 2/7 = 2/7
1
4/7
2/7 + 4/7 = 6/7
2
1/7
6/7 + 1/7 = 1
Media
µ = (0)(2/7) + (1)(4/7) + (2)(1/7) = 6/7
Varianza
V(x)= (0 – 6/7)2(2/7) + (1-6/7)2 (4/7) + (2-6/7)2 (1/7)= 20/49 = 0.40816
Desviación Estándar

σ =    0.40816    = 0.6388



La función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X esta dad por:

  




 Función de probabilidad
X = Xi
1
2
3
4
5
6
7
8
P (Xi)
2/28
3/28
4/28
5/28
4/20
3/20
2/20
1/20

Función de Distribución Acumulada
X
P(X)
F(X)
1
2/28
0 + 2/28 = 2/28
2
3/28
2/28 + 3/28 = 5/28
3
4/28
5/28 + 4/28 = 9/28
4
5/28
9/28 + 5/28 = 14/28
5
4/20
14/28 + 4/20 = 14/20
6
3/20
14/20 + 3/20 = 17/20
7
2/20
17/20 + 2/20 = 19/20
8
1/20
19/20 + 1/20 = 1
Media
µ = (1)(2/28) + (2)(3/28) + (3)(4/28) + (4)(5/48) + (5)(4/20) + (6)(3/20) + (7)(2/20) + (8)(1/20)  = 129/28
Varianza
V(x)=(1-129/28)2(2/28)+(2-129/28)2(3/28)+(3-129/28)2(4/28)+(4-129/28)2(5/28)+(5-129/28)2(4/20)+
(6-129/28)2(3/20)+(7-129/28)2(2/20)+(8-129/28)2(1/20)= 57/16 = 3.5625
Desviación Estándar

σ =       3.5625      =  1.887











2. Una variable aleatroria discreta X tiene la función de probabilidad f(x) donde

F(x)=  k(9-x)                                  si x= 5, 6, 7, 8
0                                                           en otro caso
a) Determine K, b) encuentre la media y la varianza de X

P(X=5) = k (9-5) = 4k
P(X=6) =k(9-6) =3k                                               
P(X=7) =k(9-7) =2k
P(X=8) =k(9-8) =1k
Sabemos  que:  10k = 1  entonces tenemos que:
 k = 1/10

función de Probabilidad
X
5
6
7
8
P (X)
4/10
3/10
2/10
1/10

Función de Distribución Acumulada
X
P(X)
F(X)
5
4/10
0+4/10 = 4/10
6
3/10
4/10+3/10 =7/10
7
2/10
7/10+2/10 =9/10
8
1/10
9/10+1/10 = 1


                    0       si   X < 5
                    4/10    si  5 ≤ X ≤ 6
F(X)            7/10    si  6 ≤ X ≤ 7
                     9/10   si  8 ≤ X ≤ 9
                    1       si X> 8
Media
µ = (5) (4/10)+ (6) (3/10)+ (7) (2/10)+(8) (1/10) = 6

Varianza
V(x)= (5 – 6)2(4/10) + (6-6)2 (3/10) + (7-6)2 (2/10)+ (8-6)2 (1/10) = 1




3. Sea X la variable aleatoria que representa la demanda semanal de una maquina de premios que esta puesta en un supermercado. La función de probabilidad para Z esta dada por,

         
F(x)=  x2-3x                             para x= 4, 5, 6, 7
              60                                  si x= 4, 5, 6, 7
Encuentre, a) la distribución acumulada, b) la desviación estándar,



 Función de Probabilidad
X
4
5
6
7
P (Xi)
4/60
10/60
18/60
28/60



P(X=4)= (4)2-3/4) = 4/60                        
                    60
P(X=5)= (5)2-3/5) = 10/60
                    60
P(X=6)= (6)2-3/6) = 18/60
                    60
P(X=7)= (7)2-3/7) = 28/60
                    60

Función de Distribución Acumulada
X
P(X)
F(X)
4
4/60
0+4/60 = 4/60
5
10/60
4/60+10/60 = 14/60
6
18/60
14/60+18/60 = 32/60
7
28/60
32/60+28/60 = 1
Media
µ = (4) (4/60) + (5) (10/60) + (6) (18/60) (7) (28/60) = 37/60
Varianza
V(x)= (4 - 37/60)2(4/60) + (5 – 37/60)2 (10/60) + (6 – 37/60)2 (18/60) + (7 – 37/60) (28/60)
V(x)=8.560
Desviacion Estándar
σ =    (8.560)1/2    = 2.925


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